\section{Ejercicio N 3}

Un banco está desarrollando la prestación de un nuevo servicio, para lo cual ha habilitado una ventanilla. Como el desarrollo del mismo está basado en una campaña publicitaria que hace mención al mínimo tiempo de espera que se requiere, el gerente de la sucursal ha decidido encarar el estudio científico del problema a fin de no exponerse a un fracaso. Hasta ahora se cuenta con los siguientes datos:
\begin{itemize}
\renewcommand{\labelitemi}{-}
\item Lapso medio entre arribo de usuarios: 8 minutos (distribución exponencial)
\item Tiempo medio de atención en ventanilla: 2 minutos (distribución exponencial)
\end{itemize}
Determinar:
\begin{enumerate}
\item La probabilidad de esperar.
\item La longitud promedio de la cola.
\item La velocidad promedio de arribos que haría que el tiempo de espera en la cola supera los 4 minutos.
\end{enumerate}

\begin{center}
\line(1,0){250}
\end{center}

\comandoDatos
\begin{itemize}
  \item $\lambda = \frac{1}{8}\: \,  \frac{cliente}{hora} $
  \item $\mu = \frac{1}{2}\: \,  \frac{cliente}{hora}$
\end{itemize}

\comandoCalcular
\begin{itemize}
  \item $P(n\geq1)$
  \item $L_{c}$
  \item $\lambda$ tal que $W_{c} > 4\: \,  minuto$
\end{itemize}

\comandoHipotesis
\begin{enumerate}
  \item Los arribos tienen distribución Poisson
  \item La realización del servicio tienen distribución Poisson
  \item El sistema tiene un único canal de atención
  \item El sistema tiene capacidad infinita
  \item La disciplina de atención es FIFO
  \item La población es infinita
  \item Se forma una única cola frente al canal
  \item Los clientes no presentan el fenómeno de impaciencia
  \item El sistema se encuentra en condiciones estables
\end{enumerate}

En conclusión, es un P/P/1.

\begin{figure}[H]
  \begin{center}
    \includegraphics[scale=0.7]{ejercicio03}
    \caption{Sistema correspondiente al ejercicio 3}
  \end{center}
\end{figure}

\comandoResolucion

\begin{enumerate}[\bfseries 1)]
\item La probabilidad de esperar es igual a la probabilidad de que haya al menos un usuario en el sistema, entonces:

\[P(n\geq1) = \sum_{i=1}^{n}\rho^n*P(0) = 1 - P(0) = 1 - (1 - \rho) = \rho = \frac{\frac{1}{8} \: \,  \frac{cliente}{hora}}{\frac{1}{2} \: \,  \frac{cliente}{hora}} \] 

\[\boxed{P(n\geq1) = \frac{1}{4} = 0,25 } \]

\item Como es un P/P/1, vale la siguiente igualdad: 

\[L_c = \frac{\lambda^2}{\mu*(\mu-\lambda)}=\frac{\left(\frac{1}{8} \: \,  \frac{cliente}{hora} \right)^2}{\frac{1}{2}  \: \,  \frac{cliente}{hora} *(\frac{1}{2}  \: \,  \frac{cliente}{hora}-\frac{1}{8}  \: \,  \frac{cliente}{hora})}\]
\[\boxed{L_c = \frac{1}{12} \: \,  (cliente) \approx 0.083 \: \,  (cliente)}\]

\item Utililizando la formula para el P/P/1 de $W_c$ podemos determinar el lambda pedido

\[W_c > 4  \: \,  \frac{hora}{cliente} \Rightarrow  \frac{\lambda}{\mu*(\mu-\lambda)} > 4 \Rightarrow  \frac{\lambda}{\frac{1}{2}*(\frac{1}{2}- \lambda) }>4\]
\[\frac{\lambda}{\frac{1}{4}-\frac{\lambda}{2}}>4 \Rightarrow \lambda > 4*(\frac{1}{4} -\frac{\lambda}{2})\Rightarrow \lambda +\frac{4\lambda}{2} > \frac{4}{4}\]

\[3\lambda > 1 \Rightarrow \]

\[\lambda > \frac{1}{3}  \: \,  \frac{cliente}{hora} \approx 0,33 \: \,  \frac{cliente}{hora} \]

Pero por otro lado, tenemos la restricción de que $\rho$ debe ser menor a 1 para que el sistema no se agote, entonces:

\[ \rho < 1 \Rightarrow \lambda / \mu < 1 \Rightarrow \lambda < \mu \Rightarrow \lambda <  \frac{1}{2}\: \,  \frac{cliente}{hora} \]

El rango que puede tomar $\lambda$ para cumplir con la restricción es:

\[\boxed {\frac{1}{3}  \: \,  \frac{cliente}{hora} < \lambda < \frac{1}{2} \: \,  \frac{cliente}{hora}}\]
\end{enumerate}
